{"id":16675,"date":"2011-01-03T20:32:18","date_gmt":"2011-01-03T19:32:18","guid":{"rendered":"http:\/\/www.boscarol.com\/blog\/?p=16675"},"modified":"2014-07-13T12:50:06","modified_gmt":"2014-07-13T10:50:06","slug":"grassmann-le-leggi-empiriche-della-visione-del-colore","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/www.boscarol.com\/blog\/?p=16675","title":{"rendered":"Grassmann: le leggi empiriche della visione del colore"},"content":{"rendered":"<ol>\n<li><a href=\"#I_postulati_di_Grassmann\"><span class=\"toctext\">I postulati di Grassmann<\/span><\/a><\/li>\n<li><a href=\"#La_prima_legge\"><span class=\"toctext\">La prima legge<\/span><\/a><\/li>\n<li><a href=\"#La_seconda_legge\"><span class=\"toctext\">La seconda legge<\/span><\/a><\/li>\n<li><a href=\"#La_terza_legge\"><span class=\"toctext\">La terza legge<\/span><\/a><\/li>\n<li><a href=\"#La_quarta_legge\"><span class=\"toctext\">La quarta legge<\/span><\/a><\/li>\n<li><a href=\"#I_colori_complementari\"><span class=\"toctext\">I colori complementari<\/span><\/a><\/li>\n<li><a href=\"#La_rappresentazione_geometrica_dei_colori\"><span class=\"toctext\">La rappresentazione geometrica dei colori<\/span><\/a><\/li>\n<li><span class=\"toctext\"><a href=\"#La_versione_moderna_delle_leggi_di_Grassmann\">La versione moderna delle leggi di Grassmann<\/a><\/span><\/li>\n<\/ol>\n<p>Grassmann pubblic\u00f2 il celebre articolo <em>\u00dcber die Theorie der Farbenmischung<\/em> (Sulla teoria della mescolanza dei colori) nel 1853. \u00a0\u00c8 di interesse storico il fatto che Grassmann aveva anticipato la sua teoria sulla mescolanza dei colori gi\u00e0 nell\u2019ottobre 1852, in una conferenza alla <em>Physikalischen Gesellschaft zu Stettin<\/em>, la Societ\u00e0 di fisica di Stettino.<\/p>\n<p>L\u2019occasione per la stesura di questo articolo fu offerta a Grassmann da un precedente articolo di <a title=\"Hermann von Helmholtz\" href=\"http:\/\/www.boscarol.com\/blog\/?p=16446\">Helmholtz<\/a> nel quale l\u2019autore, impegnato nella ricerca di coppie di colori la cui mescolanza desse il bianco (colori complementari), affermava di essere riuscito a trovare solo la coppia di complementari giallo e indaco. Helmholtz avanzava allora l\u2019ipotesi che per produrre il bianco fossero necessari almeno tre colori spettrali.<\/p>\n<p>Nel suo articolo Grassmann si propone di dimostrare, all\u2019interno di una teoria, che il modello di <a title=\"Isaac Newton\" href=\"http:\/\/www.boscarol.com\/blog\/?p=14594\">Newton<\/a>, al contrario, implica un numero infinito di coppie di colori complementari.<\/p>\n<p><a name=\"I_postulati_di_Grassmann\"><\/a><br \/>\n<strong>I postulati di Grassmann <\/strong><\/p>\n<p>Per dimostrare rigorosamente questa affermazione, Grassmann formula quattro postulati, cio\u00e8 quattro leggi che riassumono l\u2019esperienza di un osservatore impegnato nello studio della mescolanza additiva dei colori. Queste leggi sono il fondamento teorico sul quale si pu\u00f2 costruire rigorosamente (cio\u00e8 matematicamente) la teoria dei colori ed esprimono le propriet\u00e0 del metamerismo in connessione con la mescolanza additiva.<\/p>\n<p>Per fondare la teoria Grassmann propone di considerare come termini primitivi tre attributi percettivi del colore:<\/p>\n<ul>\n<li>tinta (<em>Farbenton<\/em>);<\/li>\n<li>brillanza del colore (<em>Intensit\u00e4t der Farbe<\/em>);<\/li>\n<li>brillanza del bianco (<em>Intensit\u00e4t des beigemischten Weiss<\/em>, cio\u00e8 la brillanza della componente acromatica del colore).<\/li>\n<\/ul>\n<p>Grassmann introduce anche i due termini derivati di<\/p>\n<ul>\n<li>brillanza totale = brillanza del colore + brillanza del bianco;<\/li>\n<li>saturazione = brillanza del colore \/ brillanza totale.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Definiti questi termini, Grassmann propone di postulare quanto segue.<\/p>\n<ol>\n<li>Una sensazione di colore \u00e8 completamente specificata da <strong>tre grandezze<\/strong>: la tinta, la brillanza del colore e la brillanza del bianco.<\/li>\n<li>Se una luce varia con continuit\u00e0, anche la sensazione di colore della mescolanza additiva con una seconda luce fissata <strong>varia con continuit\u00e0<\/strong>.<\/li>\n<li>Il risultato di una <strong>mescolanza additiva<\/strong> di colori dipende solo dal loro aspetto e non dalla loro composizione fisica.<\/li>\n<li>La brillanza di una <strong>mescolanza additiva<\/strong> di colori \u00e8 la somma delle brillanze dei colori mescolati.<\/li>\n<\/ol>\n<p>Le <strong>leggi di Grassmann<\/strong>, come da allora vengono chiamati i postulati, sono, nelle intenzioni dell&#8217;autore, \u00a0affermazioni evidenti che costituiscono la base dalla quale far discendere deduttivamente le altre affermazioni della colorimetria.<\/p>\n<p><a name=\"La_prima_legge\"><\/a><br \/>\n<strong>La prima legge<\/strong><\/p>\n<p><strong>Una sensazione di colore \u00e8 completamente specificata da tre grandezze: la tinta, la brillanza del colore e la brillanza del bianco.<\/strong><\/p>\n<p>Questo postulato afferma che per definire una sensazione di colore \u00e8 necessario e sufficiente specificare tre grandezze indipendenti. Gi\u00e0 Newton aveva stabilito che ogni colore (spettrale e non) poteva essere specificato come mescolanza di una certa quantit\u00e0 di colore spettrale con una certa quantit\u00e0 di bianco. Le tre grandezze che specificano un colore qualunque sono dunque, sia per Newton che per Grassmann, la tinta (<em>Farbenton<\/em>), cio\u00e8 l\u2019unico colore spettrale che mescolato con il bianco d\u00e0 il colore in questione, la brillanza del colore (<em>Intensit\u00e4t der Farbe<\/em>) e la brillanza del bianco (<em>Intensit\u00e4t des beigemischten Weiss<\/em>).<\/p>\n<p>In questo primo postulato Grassmann indica quella che oggi si chiama la dimensione dello spazio dei colori introducendo tre grandezze indipendenti. La questione della dimensione e dell\u2019indipendenza era contenuta nei fondamenti stessi della principale opera di Grassmann, la\u00a0<em>Ausdehnungslehre<\/em>\u00a0che qui Grassmann ha occasione di verificare con un concreto esempio della cose della natura.<\/p>\n<p>Grassmann afferma, presentando una base specifica, che la dimensione dello spazio dei colori \u00e8 tre. La base \u00e8 costituita da tinta, brillanza del colore, brillanza del bianco. Come sar\u00e0 chiarito successivamente, la base potr\u00e0 anche essere costituita da un\u2019altra terna, per esempio le quantit\u00e0 di tre colori indipendenti (i mitici colori primari, inseguiti fin dal Settecento).<\/p>\n<p>Grassmann descrive anche un apparecchio sperimentale mediante il quale \u00e8 possibile misurare queste tre grandezze e presenta questa primo postulato come sperimentalmente evidente\u00a0in quanto<\/p>\n<blockquote><p>finora nessun osservatore ha permesso di dare un altro elemento che determini la sensazione di colore, e il linguaggio stesso nel descrivere una sensazione di colore, conosce solo questi tre elementi.<\/p><\/blockquote>\n<p>Le diverse tinte costituiscono una serie circolare che comprende tutti e soli i colori dello spettro specificabili mediante la loro rifrattivit\u00e0 (come faceva Newton) o con la lunghezza d\u2019onda (come potrebbe fare Grassmann, che per\u00f2 si riferisce alle linee di Fraunhofer).<\/p>\n<p>Su questo punto Grassmann commette un errore, che tuttavia non invalida la sua teoria. Egli infatti giudica uguali la tinte dell\u2019estremo rosso e dell\u2019estremo violetto dello spettro, pi\u00f9 o meno come faceva Newton, e chiama \u201cviola\u201d questa tinta, che permette di chiudere a cerchio lo spettro.<\/p>\n<p>In realt\u00e0, come mostrer\u00e0 Helmholtz, i due estremi dello spettro (rosso e violetto) non hanno la stessa tinta, e nessuna delle due \u00e8 viola. \u00c8 invece vero che mescolando additivamente rosso e violetto si ottengono diverse gradazioni di viola. Questo errore far\u00e0 trarre a Grassmann conclusioni errate a proposito dei colori complementari.<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p><a name=\"La_seconda_legge\"><\/a><br \/>\n<strong>La seconda legge<\/strong><\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" class=\"thumbimage\" style=\"border: 0px none;\" alt=\"\" src=\"\/wiki\/images\/b\/b5\/Grassmann2.jpg\" width=\"141\" height=\"140\" border=\"0\" \/><\/p>\n<p><strong>Se una luce varia con continuit\u00e0, anche la sensazione di colore della mescolanza additiva con una seconda luce fissata varia con continuit\u00e0.<\/strong><\/p>\n<p>Per Grassmann una tinta varia con continuit\u00e0 quando varia con continuit\u00e0 la lunghezza d\u2019onda, ed inoltre, arrivati alla massima lunghezza d\u2019onda (rosso) si passa alla minima (violetto) e viceversa (attraverso il viola). Secondo Grassmann il passaggio da violetto a rosso attraverso il viola, per l\u2019occhio, \u00e8 continuo come per un\u2019altra coppia qualunque di colori vicini<\/p>\n<blockquote><p>anche se ancora le osservazioni non hanno permesso stabilire il confine al quale a diverse lunghezze d\u2019onda corrisponde la stessa sensazione di colore.<\/p><\/blockquote>\n<p>Una sensazione di colore varia con continuit\u00e0 quando variano con continuit\u00e0 la brillanza del colore, la brillanza del bianco e, se la brillanza del colore non \u00e8 nulla, anche la tinta. Se la brillanza del colore \u00e8 nulla, cio\u00e8 se la variazione avviene attraverso il bianco, una tinta pu\u00f2 trasformarsi con continuit\u00e0 in un\u2019altra di lunghezza d\u2019onda completamente diversa.<\/p>\n<p>Per Grassmann<\/p>\n<blockquote><p>anche questo secondo postulato \u00e8 confermato dall\u2019esperienza in quanto un salto finora non \u00e8 stato notato da nessuno.<\/p><\/blockquote>\n<p>Sul tema della continuit\u00e0 Grassmann si stacca nettamente dalla descrizione di Newton, che aveva invece privilegiato una divisione discreta dello spettro in sette colori principali. Grassmann invece assume questa condizione di continuit\u00e0 in modo cos\u00ec rigoroso da supporre che il violetto abbia lo stesso aspetto del rosso estremo, in modo tale che il cerchio \u00e8 definitivamente chiuso. Come gi\u00e0 detto, la formulazione va corretta introducendo non esclusivamente una tinta, il viola, ma\u00a0una serie di tinte, cio\u00e8 una serie di viola \u00a0tra il rosso ed il violetto. Con questa modifica l\u2019esperienza conferma questo postulato: non sono mai stati osservati bruschi mutamenti di colore al variare continuo della luce che ne produce la sensazione.<\/p>\n<p><a name=\"La_terza_legge\"><\/a><br \/>\n<strong>La terza legge<\/strong><\/p>\n<p><strong>Il risultato di una mescolanza additiva di colori dipende solo dal loro aspetto e non dalla loro composizione fisica.<\/strong><br \/>\nIl terzo postulato \u00e8 di grande importanza perch\u00e9 permette di astrarre dalle caratteristiche fisiche della luce e di parlare semplicemente di colori. Esso ha permesso a Grassmann di interpretare i colori come vettori e la mescolanza (additiva) di due colori come somma di due vettori.<\/p>\n<p>Era gi\u00e0 noto a Newton che due colori che appaiono uguali possono avere caratteristiche spettrali diverse. Per esempio, il colore M pu\u00f2 essere formato dalla mescolanza di A e B oppure dalla mescolanza di C e D. Nel primo caso la caratteristica spettrale di M \u00e8 la somma delle caratteristiche spettrali di A e B, nel secondo caso di C e D. Due colori che appaiono uguali ma hanno caratteristiche spettrali diverse si dicono colori metameri.<\/p>\n<p>Ci si pu\u00f2 chiedere se due colori metameri, cio\u00e8 due colori visivamente uguali ma fisicamente diversi, mescolati con un terzo colore, diano come risultato due colori uguali, o se al contrario il risultato della mescolanza dipenda anche dalle caratteristiche fisiche. La risposta che fornisce l\u2019esperienza \u00e8 che il risultato di una mescolanza di colori \u00e8 indipendente dalle loro caratteristiche spettrali, e dipende solo dal loro aspetto.<\/p>\n<p><a name=\"La_quarta_legge\"><\/a><br \/>\n<strong>La quarta legge<\/strong><\/p>\n<p><strong>L\u2019intensit\u00e0 luminosa totale di una mescolanza additiva di colori \u00e8 la somma delle intensit\u00e0 luminose dei colori mescolati.<\/strong><\/p>\n<p>Cio\u00e8 l\u2019intensit\u00e0 luminosa di una mescolanza \u00e8 additiva. E infatti questo quarto postulato \u00e8 noto anche come \u201cadditivit\u00e0 delle luminosit\u00e0\u201d e come legge di Abney. Oggi si sa che questa affermazione \u00e8 vera solo in casi particolari e Grassmann stesso notava che<\/p>\n<blockquote><p>questa legge non \u00e8 cos\u00ec ben fondata come le precedenti ma da osservazioni teoriche sembra la pi\u00f9 probabile.<\/p><\/blockquote>\n<p>Su suggerimento di Helmholtz, questa affermazione viene usata per definire la luminanza, cio\u00e8 la grandezza fotometrica corrispondente alla grandezza radiometrica detta radianza.<\/p>\n<p>Come nota MacAdam [7] il termine intensit\u00e0 qui \u00e8 \u201cappropriato solo per sorgenti puntiformi e non per aree estese di colore di cui Grassmann sta discutendo\u201d.<\/p>\n<p><a name=\"I_colori_complementari\"><\/a><br \/>\n<strong>I colori complementari<\/strong><\/p>\n<p>Oltre ad elencare i quattro postulati, Grassmann ne deriva anche alcune conseguenze. Dai primi due postulati \u00e8 possibile dedurre matematicamente che \u201cper ogni colore esiste un altro colore spettrale che mescolato con il primo d\u00e0 il bianco\u201d o, in termini moderni, che per ogni colore vi \u00e8 un colore spettrale additivamente complementare.<\/p>\n<p>Per quanto detto sopra, questa conclusione tuttavia non \u00e8 corretta. Le varie gradazioni di verde non hanno complementari spettrali. I complementari dei verdi sono appunto quei viola (mescolanza di violetto e rosso, quindi non spettrali) che Grassmann ha mancato di considerare nella serie delle tinte e che sono stati introdotti da Helmholtz.<\/p>\n<p><a name=\"La_rappresentazione_geometrica_dei_colori\"><\/a><br \/>\n<strong>La rappresentazione geometrica dei colori<\/strong><\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" class=\"thumbimage\" style=\"border: 0px none;\" alt=\"\" src=\"\/wiki\/images\/thumb\/4\/4d\/Grassmann3.png\/180px-Grassmann3.png\" width=\"180\" height=\"139\" border=\"0\" \/><\/p>\n<p>Sistemata la questione dei colori complementari, Grassmann introduce la rappresentazione geometrica (che oggi chiamiamo vettoriale) dei colori. I quattro postulati garantiscono che i colori obbediscono alla legge del baricentro e che le loro mescolanze possono essere rappresentate come somme geometriche, che Grassmann gi\u00e0 aveva presentato nella <em>Ausdehnungslehre<\/em> (Teoria dell\u2019estensione, pubblicata nel 1844) e in cui aveva dimostrato che il baricentro di due pesi A e B applicati nei punti a e b si pu\u00f2 calcolare mediante una regola, oggi descritta in qualunque testo di fisica generale.<\/p>\n<p>Ne segue che ogni colore pu\u00f2 essere rappresentato nelle sue tre dimensioni con un punto e un peso nel cerchio cromatico. La direzione nella quale questo punto C esce dal centro indica la tinta, il peso del punto l\u2019intensit\u00e0 totale della luce. Il prodotto dell\u2019intensit\u00e0 totale per la distanza dal centro \u00e8 l\u2019intensit\u00e0 del colore. Il prodotto dell\u2019intensit\u00e0 totale per la distanza dalla periferia \u00e8 l\u2019intensit\u00e0 del bianco. Se si definisce la saturazione come l\u2019intensit\u00e0 del colore diviso l\u2019intensit\u00e0 della luce, tale saturazione \u00e8 semplicemente rappresentata dalla distanza dal centro.<\/p>\n<p>La conclusione di Grassmann \u00e8 che dalle sue quattro leggi, ognuna ampiamente confermata dall\u2019esperienza, si deducono risultati che sono in accordo con la regola empirica di Newton, e che tale deduzione \u00e8 stata fatta \u201cin modo puramente matematico\u201d.<\/p>\n<p>Tuttavia, secondo Grassmann, il modo in cui Newton distribuisce i colori omogenei sulla circonferenza del suo cerchio necessita di una totale revisione. Questa revisione sar\u00e0 intrapresa da Helmholtz e dai suoi allievi e porter\u00e0 nel 1931 alla definizione del diagramma delle cromaticit\u00e0 come lo conosciamo oggi.<\/p>\n<p><a name=\"La_versione_moderna_delle_leggi_di_Grassmann\"><\/a><br \/>\n<strong>La versione moderna delle leggi di Grassmann<\/strong><\/p>\n<p>I primi riflessi delle leggi di Grassmann si trovano in Helmholtz e Maxwell. Helmholtz le utilizza e ne d\u00e0 una propria versione nel suo <em>Manuale di ottica fisiologica<\/em> [13] mentre Maxwell le utilizza per iniziare a misurare il luogo dei colori spettrali, un obiettivo indicato da Grassmann stesso nel suo articolo. K\u00f6nig e Dieterici hanno successivamente perfezionato il lavoro di Maxwell e la loro determinazione dei colori spettrali \u00e8 stata il punto di partenza per tutte le ricerche in questo campo [9].<\/p>\n<p>Da allora in letteratura si trovano differenti formulazioni delle leggi di Grassmann [9]. Tra queste, quelle di Erwin Schr\u00f6dinger, di Manfred Richter, di P. J. Bouma. Una esposizione matematica formale \u00e8 stata data da Krantz [12]. Indicata con il segno \u201c=\u201d la corrispondenza metamerica tra stimoli di colore, con il segno \u201c+\u201d la mescolanza additiva tra stimoli di colore e dati gli stimoli di colore A, B, C e D, valgono le seguenti propriet\u00e0:<\/p>\n<ul>\n<li><strong>simmetria<\/strong> se A = B allora B = A<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li><strong>transitivit\u00e0<\/strong> se A = B e B = C allora A = C<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li><strong>proporzionalit\u00e0<\/strong> se A= B allora a A = a B per ogni reale a \u2260 0<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li><strong>additivit\u00e0<\/strong> se A = B e C = D allora (A + C) = (B + D) se A = B e A + C = B + D allora C = D<\/li>\n<\/ul>\n<p>Le prime due propriet\u00e0 (assieme alla propriet\u00e0 riflessiva A = A) definiscono una relazione di equivalenza tra gli stimoli di colore, la relazione di <strong>metamerismo<\/strong>. I colori si possono dunque definire come classi di equivalenza di stimoli di colore che appaiono soggettivamente corrispondenti.<\/p>\n<p>La terza (proporzionalit\u00e0) stabilisce la compatibilit\u00e0 tra la variazione di intensit\u00e0 di uno stimolo di colore e la relazione di metamerismo, afferma cio\u00e8 che il metamerismo viene conservato da una variazione di intensit\u00e0.<\/p>\n<p>Analogamente la quarta propriet\u00e0 (additivit\u00e0, che deriva dalla terza legge di Grassmann) afferma che la relazione di metamerismo viene conservata quando ad ognuno di due stimoli metamerici si mescolano stimoli metamerici.<\/p>\n<p>L\u2019insieme degli stimoli di colore costituisce dunque (un cono convesso in) uno spazio vettoriale sui numeri reali, che \u00e8 lo spazio di tristimolo. La prima legge di Grassmann afferma che questa spazio vettoriale \u00e8 tridimensionale.<\/p>\n<p>La validit\u00e0 in generale delle leggi di Grassmann \u00e8 oggi in discussione, ed \u00e8 noto che le leggi non sono necessariamente vere in ogni situazione,\u00a0per la visione umana \u00a0[14].<\/p>\n<p><strong>Riferimenti<\/strong>:<\/p>\n<ol>\n<li><a href=\"http:\/\/www.boscarol.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2011\/01\/slide_mi2.pdf\">Slide Conferenza Gruppo Colore Milano 2006<\/a><\/li>\n<li><a href=\"http:\/\/www.boscarol.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2011\/01\/boscarol_GC2006.pdf\">Testo Conferenza Gruppo Colore Milano 2006<\/a><\/li>\n<\/ol>\n<p>&nbsp;<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>I postulati di Grassmann La prima legge La seconda legge La terza legge La quarta legge I colori complementari La rappresentazione geometrica dei colori La versione moderna delle leggi di Grassmann Grassmann pubblic\u00f2 il celebre articolo \u00dcber die Theorie der Farbenmischung (Sulla teoria della mescolanza dei colori) nel 1853. \u00a0\u00c8 di interesse storico il fatto [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"spay_email":"","jetpack_publicize_message":"","jetpack_is_tweetstorm":false},"categories":[757],"tags":[826],"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_publicize_connections":[],"jetpack_shortlink":"https:\/\/wp.me\/pjoVH-4kX","jetpack_sharing_enabled":true,"jetpack_likes_enabled":false,"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/www.boscarol.com\/blog\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/16675"}],"collection":[{"href":"http:\/\/www.boscarol.com\/blog\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"http:\/\/www.boscarol.com\/blog\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/www.boscarol.com\/blog\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/www.boscarol.com\/blog\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=16675"}],"version-history":[{"count":18,"href":"http:\/\/www.boscarol.com\/blog\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/16675\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":16683,"href":"http:\/\/www.boscarol.com\/blog\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/16675\/revisions\/16683"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/www.boscarol.com\/blog\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=16675"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"http:\/\/www.boscarol.com\/blog\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=16675"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"http:\/\/www.boscarol.com\/blog\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=16675"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}