Nell'Ottica Newton aveva presentato le idee principali sulle quali egli basava un modello matematico di classificazione della sensazioni di colore in relazione agli stimoli luminosi che le causano. L'idea di Newton era buona, ma doveva essere precisata nei dettagli. Come egli stesso aveva auspicato, ora era necessario formalizzare quei principi e trarne le necessarie deduzioni, costruire cioè la teoria della misura dei colori.

Lo fece Hermann Günther Grassmann (1809-1877), professore di matematica in un ginnasio di Stettin (che alla sua nascita era in Prussia, alla sua morte in Germania, oggi in Polonia con il nome di Szczecin) in un celebre articolo del 1853 "Über die Theorie der Farbenmischung" (Sulla teoria della mescolanza dei colori).

L'occasione fu offerta a Grassmann da un precedente articolo di Hermann von Helmholtz nel quale l'autore, impegnato nella ricerca di coppie di colori la cui mescolanza desse il bianco (colori complementari), affermava di essere riuscito a trovare solo la coppia di complementari giallo e indaco. Helmholtz avanzava allora l'ipotesi che per produrre il bianco fossero necessari almeno tre colori spettrali. Nel suo articolo Grassmann si propone di dimostrare all'interno di una teoria che il modello di Newton, al contrario, implica un numero infinito di coppie di colori complementari.

Per fondare la teoria Grassmann propone di considerare come termini primitivi gli attributi (psicologici) del colore:

• tinta (rosso, giallo, verde, blu, ...);
• intensità del colore (il termine usato oggi è brillanza del colore);
• intensità del bianco (brillanza del bianco).

Grassmann introduce anche i due concetti derivati di

• intensità totale = intensità del colore + intensità del bianco
• saturazione = intensità del colore / intensità totale

1. Una sensazione di colore è completamente specificata da tre grandezze: la tinta, l'intensità del colore e l'intensità del bianco.
2. Se una luce varia con continuità, anche la sensazione di colore della mescolanza additiva con una seconda luce fissata varia con continuità.
3. Il risultato di una mescolanza additiva di colori dipende solo dal loro aspetto e non dalla loro composizione fisica.
4. L'intensità totale di una mescolanza additiva di colori è la somma delle intensità totali dei colori mescolati.

Le leggi di Grassmann, come da allora vengono chiamati i quattro postulati, sono affermazioni sperimentalmente evidenti che costituiscono la base dalla quale far discendere deduttivamente le altre affermazioni della colorimetria.

Discutiamo ora il significato dei quattro postulati, la loro plausibilità sperimentale e il loro ruolo in colorimetria.

Il primo postulato afferma che per definire una sensazione di colore è necessario e sufficiente specificare tre grandezze. Già Newton aveva stabilito che ogni colore (spettrale e non) potesse essere specificato come mescolanza di una certa quantità di colore spettrale con una certa quantità di bianco. Le tre grandezze che specificano un colore qualunque sono dunque, sia per Newton che per Grassmann, la tinta, cioè l'unico colore spettrale che mescolato con il bianco dà il colore in questione, l'intensità del colore e l'intensità del bianco.

Grassmann descrive un apparecchio sperimentale mediante il quale è possibile misurare queste tre grandezze e presenta questa primo postulato come evidente sperimentalmente in quanto

finora nessun osservatore ha permesso di dare un altro elemento che determini la sensazione di colore, e il linguaggio stesso nel descrivere una sensazione di colore, conosce solo questi tre elementi.

Le diverse tinte costituiscono una serie circolare che comprende i colori dello spettro specificabili mediante la loro rifrattività (come faceva Newton) o con la lunghezza d'onda (come potrebbe fare Grassmann, che però si riferisce alle linee di Fraunhofer).

Su questo punto Grassmann commette un errore, che tuttavia non invalida la sua teoria. Egli infatti giudica uguali la tinte dell'estremo rosso e dell'estremo violetto dello spettro, più o meno come faceva Newton, e chiama viola questa tinta, che permette di chiudere a cerchio lo spettro.

In realtà, come mostrerà Helmholtz, i due estremi dello spettro (rosso e violetto) non hanno la stessa tinta, e nessuna delle due è viola. Mescolando additivamente rosso e violetto (o blu) si ottengono diverse gradazioni di viola. Questo errore gli farà trarre conclusioni errate a proposito dei colori complementari.

In questo primo postulato Grassmann introduce quella che oggi si chiama la dimensione dello spazio dei colori introducendo tre grandezze che oggi chiamiamo indipendenti. La questione della dimensione e dell'indipendenza era contenuta nei fondamenti stessi della principale opera di Grassmann, la Ausdehnungslehre che qui Grassmann ha l'occasione di verificare con un concreto esempio della realtà naturale.

Grassmann afferma, presentando una base specifica, che la dimensione dello spazio dei colori è tre. La base è data da: tinta, intensità del colore, intensità del bianco. Come sarà chiarito successivamente, la base potrà anche essere un'altra terna, per esempio le quantità di tre colori indipendenti (i mitici colori primari, inseguiti fino dal Settecento).

Per Grassmann una tinta varia con continuità quando varia con continuità la lunghezza d'onda, ed inoltre quando si arriva alla massima lunghezza d'onda (rosso) si passa alla minima (violetto) e viceversa (attraverso il viola). Il passaggio da violetto a rosso attraverso il viola, per l'occhio, è continuo come per un'altra coppia qualunque di colori vicini

anche se ancora le osservazioni non hanno permesso stabilire il confine al quale a diverse lunghezze d'onda corrisponde la stessa sensazione di colore.

Una sensazione di colore varia con continuità quando variano con continuità l'intensità del colore, l'intensità del bianco e, se l'intensità del colore non è nulla, anche la tinta. Se l'intensità del colore è nulla, cioè se la variazione avviene attraverso il bianco, una tinta può trasformarsi con continuità in un'altra di lunghezza d'onda completamente diversa.

Per Grassmann

anche questo secondo postulato è confermato dall'esperienza in quanto un salto finora non è stato notato da nessuno.

Sul tema della continuità Grassmann si stacca nettamente dalla descrizione di Newton, che aveva invece privilegiato una divisione discreta dello spettro in sette colori principali. Grassmann invece assume questa condizione di continuità in modo così rigoroso da supporre che il violetto ha lo stesso aspetto del rosso estremo, in modo tale che il cerchio è definitamente chiuso.

Come già detto, la formulazione va corretta introducendo una serie di colori tra il rosso ed il violetto, non esclusivamente il viola. Con questa modifica l'esperienza conferma questo postulato: non si sono mai visti bruschi mutamenti di colore al variare continuo della luce che ne produce la sensazione.

Il terzo postulato è di grande importanza perché permette di astrarre dalle caratteristiche fisiche della luce e di parlare semplicemente di colori. Esso ha permesso a Grassmann di interpretare i colori come vettori e la mescolanza di due colori come somma di due vettori.

Era già noto a Newton che due colori che appaiono uguali possono avere caratteristiche spettrali diverse. Per esempio, il colore M può essere formato per mescolanza di A e B oppure per mescolanza di C e D. Nel primo caso la caratteristica spettrale di M è la somma delle caratteristiche spettrali di A e B, nel secondo caso di C e D. Due colori che appaiono uguali ma hanno caratteristiche spettrali diverse si dicono colori metameri.

Ci si può chiedere se due colori metameri, cioè due colori visivamente uguali ma fisicamente diversi, mescolati con un terzo colore, diano come risultato due colori uguali, o se al contrario il risultato della mescolanza dipenda anche dalle caratteristiche fisiche. La risposta che fornisce l'esperienza è che il risultato di una mescolanza di colori è indipendente dalle loro caratteristiche spettrali, e dipende solo dal loro aspetto.

Cioè in sostanza l'intensità luminosa di una mescolanza è additiva. E infatti questo quarto postulato è noto anche come "additività delle luminosità" e come legge di Abney. Oggi si sa che questa affermazione è vero solo in casi particolari e Grassmann stesso notava che

Questa legge non è così ben fondata come le precedenti ma da osservazioni teoriche sembra la più probabile.

Oggi, su suggerimento di Helmholtz, questa affermazione si usa per definire la luminanza, cioè la grandezza fotometrica corrispondente alla grandezza radiometrica detta radianza. La sua definizione tiene conto del fatto che l'apparato visivo non è ugualmente sensibile alle radiazioni spettrali. Per definizione la luminanza è dunque additiva, cioè

Per Grassmann l'intensità luminosa totale è somma dell'intensità di colore e dell'intensità del bianco. Come nota MacAdam il termine intensità qui è "appropriato solo per sorgenti puntiformi e non per aree estese di colore di cui Grassmann sta discutendo".

per ogni colore esiste un altro colore spettrale che mescolato con il primo dà il bianco

o, in termini moderni, che per ogni colore vi è un colore spettrale additivamente complementare.

Per quanto detto sopra, questa conclusione tuttavia non è corretta. Le varie gradazioni di verde non hanno complementari spettrali. I complementari dei verdi sono appunto quei viola (miscela di violetto e rosso, quindi non spettrali) che Grassmann ha mancato di considerare nella serie delle tinte e che sono stati introdotti da Helmholtz.

Si inizia col trovare due colori "di base" A e B.

Preso un qualunque colore spettrale A, per esempio un giallo di determinata lunghezza d'onda, si determina per osservazione il colore spettrale complementare A' (indaco, perché mescolato con giallo dà il bianco).

Supponiamo che per avere bianco l'intensità di A debba essere 7 e quella di A' debba essere 1. Rappresentiamo allora A di intensità 7 con un segmento a che esce da un punto nel piano, e A' di intensità 1 con un segmento a' della stessa lunghezza che esce dallo stesso punto ma in direzione opposta (questo rappresenta la complementarietà).

Determiniamo adesso altri due colori B e B', complementari tra loro (per esempio verde e viola, supponiamo che per avere il bianco sia necessario un verde di intensità 3 e un viola di intensità 1).

B deve essere tale che la intensità della sua miscela con A sia uguale all'intensità della sua miscela con A'. Nel diagramma questo fatto si esprime rappresentando B con un segmento b perpendicolare ad a.

Inoltre la mescolanza di B e B' (che è bianco) deve avere una intensità uguale alla mescolanza di A e A'. Nell'esempio di prima la mescolanza di A e A' ha intensità 8, e questa deve essere anche la intensità della mescolanza di B e B', quindi B avrà intensità 6 e B' avrà intensità 2.

Questa proprietà permette di rappresentare B e B' con due segmenti b e b' che, oltre ad essere perpendicolari ad a, hanno la stessa lunghezza.

Rappresentiamo l'intensità di un colore con la lunghezza del segmento che lo rappresenta.

Per esempio 2a significa un colore con tinta a (giallo) e intensità doppia di a; -3a rappresenta un colore con tinta a' (indaco) e intensità tripla rispetto ad a'.

Il colore c viene così rappresentato dalla miscela di Aa e di Bb, e il colore c₁ dalla miscela A₁a e B₁b.

La mescolanza di c e c₁, finalmente, è la mescolanza dei quattro colori Aa, Bb, A₁a, B₁b , cioè la mescolanza (A+A₁)a e (B+B₁)b.

Questa è esattamente la regola del baricentro. Già nella sua Ausdehnungslehre (Teoria dell'estensione, pubblicata nel 1844) Grassmann aveva dimostrato che il baricentro di due pesi A e B applicati nei punti a e b si può calcolare mediante la seguente regola.

Si sceglie un punto O qualunque, ma non sul segmento ab, e si costruiscono i segmenti Oa e Ob. Si moltiplica (cioè si allunga) il segmento Oa per A e il segmento Ob per B. Se ne calcola la risultante (cioè la diagonale del parallelogramma) e la si divide per A+B ottenendo il segmento OM. M è il baricentro del sistema.

Ne segue che ogni colore può essere rappresentato nei suoi tre momenti con un punto e un peso nel cerchio.

La direzione nella quale questo punto C esce dal centro indica la tinta, il peso del punto l'intensità totale della luce. Il prodotto dell'intensità totale per la distanza dal centro è l'intensità del colore. Il prodotto dell'intensità totale per la distanza dalla periferia è l'intensità del bianco. Se definiamo la saturazione come l'intensità del colore diviso l'intensità della luce, tale saturazione è semplicemente rappresentata dalla distanza dal centro.

Questa regola si generalizza immediatamente al caso di n pesi m₁, m₂, ..., mn applicati in P₁, P₂, ..., P_n che possono sostituirsi con un peso m, somma degli m_i, applicato nel baricentro che è OM = Somma(m_iOP_i/m).

Ecco come Grassmann costruisce il suo modello vettoriale. Il primo passo è la costruzione di alcuni vettori "di base".

Rappresentiamo questi colori con vettori di uguale lunghezza e perpendicolari tra loro. I colori intermedi si possono determinare sempre per osservazione mescolando due di questi colori di base in tutte le proporzioni possibili di intensità di colori, e si rappresentano come combinazione lineare dei colori di base.

Per esempio il colore che si ottiene con intensità a di A e b di B si rappresenta come in figura considerando l'intensità di A e B uguale a 1.

A questo punto ogni colore si può rappresentare con un vettore che è combinazione lineare dei vettori di base. Si può determinare la tinta e l'intensità di colore di ogni mescolanza di colori mediante somma di vettori.

Conoscendo questi dati si può determinare la posizione del colore nel diagramma cromatico e viceversa conoscendo la posizione del colore si possono trovare questi dati.

Per esempio se l'íintensità della luce è l = 3 e l'intensità del colore è c=2, allora l'intensità del bianco è w = l-c = 1 e la saturazione è c/l = 2/3.

Conoscendo invece la posizione del colore nel cerchio, il rapporto tra le intensità del colore e del bianco è c/w = 2/1 e quindi la saturazione è c/c+w = 2/3. Se l'intensità della luce è l=3, l'intensità del colore è c = 3 x 2/3 =2 e quella del bianco è w = 3 x 1/3 = 1.

La conclusione di Grassmann è che dalle sue quattro leggi, ognuna ampiamente confermata dall'esperienza, si deducono risultati che sono in accordo con la regola empirica di Newton, e che tale deduzione è stata fatta "in modo puramente matematico".

Tuttavia, secondo Grassmann, il modo in cui Newton distribuisce i colori omogenei sulla circonferenza del suo cerchio necessita di una totale revisione della quale gli esperimenti di Helmholtz sono solo i passi iniziali.

Nel 1832 Grassmann derivò la forma vettoriale delle leggi della meccanica, definì il prodotto esterno, introdusse la nozione di sottospazio lineare e di indipendenza lineare. Nel 1844 pubblicò Die Lineale Ausdehnungslehre, un'opera così anticipatrice che ci volle circa un secolo prima che venisse completamente apprezzata.

Successivamente Hamilton definì il prodotto interno ed esterno nello spazio tridimensionale.

Gli spazi vettoriali astratti sono stati introdotti da Giuseppe Peano in Calcolo geometrico secondo l'Ausdehnungslehre di H. Grassmann preceduto dalle operazioni della logica deduttiva (1888) .

I vettori sono stati resi popolari da Edwin Bidwell Wilson in Vector Analysis (1901).

Il capitolo su Grassmann in The Representation of Color Metrics and Mappings in Perceptual Color Space di Steven M. Boker, 1995

Hermann Grassmann and the Creation of Linear Algebra di Desmond Fearnley-Sander pubblicato su American Mathematical Monthly 86,1979, 809-817

Die Grassmann'schen Gesetze di Rainer Zwisler

Farbe.com

Hermann Günther Grassmann - Leben und die Grassmannschen Gesetze Lavoro di uno studente dell'Università di Berlino. Contiene una traduzione in tedesco, non autorizzata, di gran parte di questa mia pagina web.